Klinšovs laika posmā no 1960. līdz 1970. gadam bija Rīgas "Dinamo" spēlētājs, bet vēlāk pievērsās trenera karjerai. Speciālists ilgus gadus strādāja ar junioru un jauniešu izlasēm, bet iepriekš vadīja arī "Latvijas Bērzs" meistarkomandu.
1990. gadu beigās un 2000. gadu sākumā Kļinšovs strādāja arī par Baldera Hokeja skolas (BHS) bērnu treneri, kurā savas pirmās gaitas uzsāka tādi hokejisti kā Mārtiņš Karsums un Lauris Dārziņš.
2000. un 2001. gadā pasaules čempionātā Klinšovs bija Latvijas valstsvienības galvenā trenera Haralda Vasiļjeva palīgs. Tāpat viņš piecas reizes vadījis Latvijas U-18 hokeja izlasi pasaules čempionātos, kā arī bijis U-18 un U-20 izlašu trenera asistents.
Pēdējo sezonu kā treneris Klinšovs aizvadīja 2017./2018. gada sezonā, kad strādāja par trenera asistentu komandā "Jūrmala".
Atvadīšanās no Aleksandra Klinšova notiks sestdien, 9. novembrī, pulksten 12, Rīgā, Jēkabpils ielā 28, ziņo Latvijas hokeja federācija (LHF).